Folgenkonvergenz

 

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Konvergenzverhalten von Folgen in den Körpern  der reellen und komplexen Zahlen.
Zuerst geben wir eine Übersicht über das grundsätzliche Verfahren mit einigen Beispielen und danach gehts zu den Aufgaben!

Es sei eine Folge

vorgegeben und wir wollen prüfen, ob diese konvergiert.
Zuerst betrachten wir, wie wir die Folge einordnen können.

Konstante Folgen konvergieren natürlich gegen den entsprechenden Wert:

 

Bei gebrochen rationalen Funktionen dagegen müssen wir genauer hinschauen.
Allgemein gilt: Ist der größte Exponent im Nenner größer als der größte Exponent im Zähler, so konvergiert die Folge gegen 0. Die Vorfaktoren und die jeweiligen Reste über und unter dem Bruchstrich können wir komplett ignorieren.

 

Ist dagegen die Potenz im Zähler größer, so divergiert die Folge bestimmt gegen + oder - unendlich, je nach den Vorfaktoren der beiden höchsten Potenzen:

(zwei mal - ergibt +)

Gilt dagegen, dass die höchste Potenz in Zähler und Nenner gleich ist, gilt folgende Regel:
Wir betrachten wieder ausschließlich die höchsten Teile mit den höchsten Exponenten aber müssen jetzt deren Vorfaktoren genauer betrachten. Der Grenzwert für n -> 00 ist nämlich immer gleich dem Vorfaktor des Zählers geteilt durch den Vorfaktor des Nenners:

Schauen wir uns jetzt Folgen mit der Exponentialfunktion an. Solange wir im Reellen bleiben, also kein imaginäre Einheit i vorkommt, ist das alles kein Problem, das konvergiert genauso wie wir es aus der Schule kennen.

Wenn jetzt jedoch komplexe Zahlen hinzukommen, so müssen wir die Folge erst umformen, in der Regel in die trigonometrische Form:

Und hier sieht man jetzt sofort, dass diese Funktion periodisch und damit divergent mit unendlich vielen Häufungspunkten ist!

 

Bis jetzt ist das alles ziemlich abstrackt, aber Hier gehts direkt zu einigen Übungsaufgaben, bei denen die Lösungen sehr detailliert erklärt sind!