Folgenkonvergenz - Lösungen

Hier gibts die Lösungen zu den Aufgaben!

1)

Kurzfassung: Man sieht sofort, dass Zähler und Nenner beide Polynome zweiten Grades sind. Daher reicht es wenn wir uns deren Vorfaktoren anschauen:

 

detaillierte Vorgehensweise:

Zuerst erweitern wir den Bruch, so dass kein n mehr direkt über dem Bruchstrich steht:

Da jetzt sowohl der obere, als auch der untere Teil konvergieren, dürfen wir nun einzeln die Grenzwerte berechnen:

 

Diese Grenzwerte sind schnell gefunden und was übrig bleibt ist einfach nur:

 

Den formellen Beweis mit Epsilon kann man sich in 2) anschauen und einfach übertragen.

 

2)

Im ersten Schritt erweitern wir einfach den Bruch:

Hier sieht man dann schon, dass der Zähler konstant ist und der Nenner gegen unendlich divergiert:

 

 

Formeller Beweis:

Wir beweisen nun die Konvergenz nochmal mit dem Epsilon-Kriterium.

Dazu gehen wir von der Definition aus. Wir wissen, dass für einen Grenzwert das hier gelten muss:

Für alle Epsilon muss es ein N geben, sodass

Für uns bedeutet das, dass wir eine natürliche Zahl N finden missen, sodass ab diesem N-ten Folgenglied alle darauffolgenden Glieder einen Abstand von weniger als Epsilon zum Grenzwert haben.

Wir wissen bereits, wie der Grenzwert aussieht und setzen jetzt einfach alles in die Formel ein:

Die Betragsstriche dürfen wir nun auflösen, da über und unter dem Bruchstrich nur positive Zahlen stehen, schließlich ist n eine natürliche Zahl:

 

Den Bruch auf der Rechten Seite können wir nun ignorieren, weil wir nur irgendein n finden wollen, für das die Ungleichung erfüllt ist und der Bruch ohnehin positiv ist.

 

Und schon haben wir unser n in Abhängigkeit von Epsilon. Egal was wir für Epsilon einsetzen, wir finden immer ein n, sodass die Ungleichung erfüllt ist! Damit sind wir fertig.

Als Beispiel setzen wir uns hier noch ein beliebiges Epsilon und rechnen von da aus weiter:

Das heißt also, wenn wir nun eine Zahl größer als 17 in unsere Folge einsetzen, so bekommen wir einen Wert heraus, der weniger als 0,1 vom Grenzwert entfernt ist. Je kleiner wir Epsilon wählen, desto näher kommen wir an den Grenzwert heran und desto höher müssen wir natürlich auch n wählen.