Komplexe Zahlen

 

 

Die komplexen Zahlen erweitern die Reellen Zahlen durch die Vielfachen der imaginären Einheit i, wobei i die Wurzel von -1 darstellt:

Jede komplexe Zahl z hat eine Darstellung in der Form:

Wobei a der sogenannte Realteil (abgekürzt Re) und und b der Imaginärteil (Im) ist. Als Beispiel: Für z=3+5i gilt Re=3 und Im=5. Real- und Imaginärteil sind also beides Reelle Zahlen.

Dementsprechend lassen sich die Komplexen Zahlen auch einfach als R^2 auffassen, wobei die eine Achse den Realteil und die andere den Imaginärteil darstellt.

Man rechnet mit den komplexen Zahlen genauso, wie man es gewohnt ist, das heißt bei Addition werden jeweils die Real- und Imaginärteile miteinander addiert:

Bei der Multiplikation befolgt man ebenfalls die gewohnten Rechengesetze:

In allgemeiner Form sieht das dann so aus:

 

Der Betrag wird genauso berechnet, wie im R^2:

 

 

Eine andere wichtige Darstellungsform stellt die Polarform dar. Bei ihr wird die komplexe Zahl direkt als ein Element des R^2 interpretiert und dann in ihre Länge r und ihre Ausrichtung zerlegt:

Um von der allgemeinen, auch algebraisch genannten Form in die Polarform und umgekehrt zu kommen, muss man nur ein bisschen umformen:

Wobei r natürlich der Betrag ist. Am Beispiel sieht das dann so aus:

 

Als letztes ist noch die komplexe Konjugation erwähnenswert. Hier wird einfach der Imaginärteil durch sein Negatives ersetzt:

Interessant ist, dass der Betrag einer komplexen Zahl z gerade die Wurzel des Produkts von z mit seinem konjugierten ist: