Konvergenz von Reihen

Hier beschäftigen wir uns mit dem Konvergenzverhalten von unendlichen Reihen. Um sofort mit den Aufgaben anzufangen, klicke hier!

Es gibt einige Konvergenzkriterien, die man nacheinander durchgehen kann, um möglichst effektiv zu bestimmen, ob eine Reihe tatsächlich konvergiert oder divergiert.

Den Grenzwert von unendlichen Reihen zu berechnen ist dagegen deutlich schwerer, dieses Thema wird in einem anderen Artikel behandelt.

 

Generelles Vorgehen:

Wir haben eine Reihe vorgegeben, die wir auf Konvergenz hin überprüfen wollen:

Dazu müssen wir zuerst überprüfen, ob die Folge in der Reihe tatsächlich eine konvergente Nullfolge ist, also dass gilt:

Wenn das nicht der Fall ist, dann können wir direkt schon aufhören, denn dann divergiert die Reihe.

Wenn das geklärt ist gehen wir einfach nach dem Ausschlussverfahren einige Kriterien durch,  die wir anwenden könnten.

 

Leibniz'sches Konvergenzkriterium:

Wenn wir eine Reihe der Form:

haben, und die Folge selber eine monotone Nullfolge ist, dann wissen wir direkt, dass die Reihe konvergiert!

 

Absolute Konvergenz:

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert, wenn also

konvergiert. Absolute Konvergenz impliziert sofort auch "normale" Konvergenz, andersrum ist das leider nicht so leicht.

 

 

Mit dieser Definition können wir jetzt das Majorantenkriterium zur Konvergenz bzw das Minorantenkriterium zur Divergenz anschauen.

Wenn wir eine absolut konvergente Reihe kennen, und wissen, dass jedes einzelne Reihenglied (ab einem gewissen n) vom Betrag her kleiner ist, als das entsprechende Reihenglied der Reihe, die wir untersuchen, so haben wir eine sogenannte Majorante gefunden. Wenn so eine existiert, dann wissen wir, dass unsere Reihe konvergiert, denn wir haben ja eine Reihe gefunden, die immer größer ist, aber trotzdem konvergiert.

Oder, anders ausgedrückt:

Unsere Reihe ist also nicht nur normal konvergent, sondern sogar absolut konvergent!

 

Das gleiche Verfahren können wir übrigens auch andersherum anwenden:

Wenn wir eine divergente Reihe kennen und wissen, dass (ab einem bestimmten Folgenglied) alle Folgenglieder der zu untersuchenden Reihe größer sind als die der divergierenden, dann wissen wir, dass auch unsere Reihe divergiert.

 

Ein weiteres wichtiges Kriterium ist das Quotientenkriterium:

Zuerst schreiben wir in einem Bruch n+1-te Glied der Folge über und das n-te Folgenglied unter den Bruchstrich und nehmen davon dann den Betrag.

Wenn wir jetzt eine feste, aber beliebige positive Zahl echtkleiner als 1 finden, die größergleich diesem Bruch ist, dann konvergiert die Reihe:

Hier muss man aber aufpassen. Man darf nicht einfach nur sagen, dass der Bruch kleiner als 1 ist und das q einfach weglassen. Konvergiert nämlich der Bruch gegen 1 , so sagt das Quotientenkriterium nichts über das Konvergenzverhalten der Reihe aus.

Typisches Gegenbeispiel ist die Harmonische Reihe:

Obwohl die Reihe bekanntlich divergent ist!

Ist übrigens der Bruch größer als 1, so handelt es sich nicht um eine Nullfolge und die Reihe kann nicht konvergieren.

 

Als letztes behandeln wir noch das Cauchyche Verdichtungskriterium.

Eine beliebige Reihe

konvergiert genau dann, wenn die Reihe

konvergiert. Das bedeutet, wir ersetzen in unserer Folge einfach das n durch ein 2n und stellen noch ein 2n vorne an. Die Konvergenz dieser Reihe ist häufig einfacher zu ermitteln.

Und jetzt gehts zu den Aufgaben!