Konvergenz von Reihen - Lösungen

Hier gibt es die Lösungen zu den Aufgaben zur Konvergenz von Reihen!

 

 

1)

Wir erkennen sofort das Leibnizsche Konvergenzkriterium wegen der (-1)n und müssen nur noch überprüfen, ob die übrig bleibende Folge eine monotone Nullfolge ist!

Wir betrachten also

Wie wir im Artikel über die Konvergenz von Folgen gelernt haben, konvergiert so eine Folge gegen 0. Wir müssen jetzt also nur noch die Monotonie nachweisen. Eine Folge ist genau dann monoton fallend, wenn gilt:

Also bei uns:

Dann multiplizieren wir mit den Nennern und erhalten:

Und das ist offensichtlich wahr! Damit haben wir eine monotone Nullfolge und deshalb konvergiert unsere Reihe.

 

2)

Dass es sich um eine Nullfolge handelt sieht man sofort. Nun müssen wir überprüfen, welches Kriterium greifen könnte. Man probiert zum Beispiel das Quotientenkriterium aus, das allerdings kein Ergebnis liefert, denn man erhält einen Ausdruck, der gegen 1 konvergiert.

Wenn man dagegen das Cauchysche Verdichtungskriterium anwendet kommt man weiter. Wir betrachten jetzt also anstatt unserer Reihe diese Reihe:

Das formen wir jetzt weiter um und können dann wieder das Quotientenkriterium verwenden:

Und da diese Reihe konvergiert wissen wir, dass auch die ursprünglich gesuchte Reihe konvergiert.

 

3)

Diese Aufgabe könnten wir im Prinzip genauso lösen wie die Aufgabe 2. Da wir uns aber nicht zu viel Mühe machen wollen verkürzen wir das hier: Wir benutzen das Majorantenkriterium.

Wir suchen also eine konvergierende Reihe, bei der die Folgenglieder alle größer sind als bei unserer Reihe. Und hier hilft uns die Aufgabe 2. Schließlich gilt:

Wir haben also eine konvergente Majorante gefunden und deshalb konvergiert unsere Reihe!

 

4)

Ok, die war ein bisschen schwerer. Zuerst einmal das offensichtliche: Wir müssen das Leibniz Kriterium anwenden:

Ab jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass die übrig bleibende Folge monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert, also zwei Schritte.

Als erstes die Monotonie. Es muss bekanntlich gelten:

Mit dem zweiten Ausdruck können wir besser arbeiten. Wir setzen einfach unsere Formel ein und erhalten:

Hier haben wir einfach so lang umgeformt, bis wir etwas erhalten haben, was wir kennen. Von dem letzten Ausdruck wissen wir, dass er für alle n immer kleiner als 1 ist. Daraus folgt dann die Monotonie der Folge.

Bleibt noch zu zeigen, dass der Grenzwert der Folge auch wirklich 0 ist. Dazu formen wir einfach die Folge selber um:

An dieser Stelle haben wir das Produkt zweier konvergenter Folgen, nämlich:

wobei e die Eulersche Zahl ist. Da wir wissen, dass wir in diesem Fall die Grenzwerte getrennt berechnen und dann multiplizieren dürfen (Stichwort Grenzwertsätze) sieht man sofort, dass die Folge gegen 0 konvergiert! Und daraus folgt dann - mit Leibniz Kriterium aufgrund der monotonen Nullfolge - die Konvergenz der Reihe!