Partialbruchzerlegung

Hier findest Du eine Einführung in die Partialbruchzerlegung. Wenn du direkt loslegen willst geht es hier zu den Beispielaufgaben (mit Lösungen)!

Die Partialbruchzerlegung ist ein häufig verwendetes Verfahren zur Integration. Außerdem hilft sie manchmal bestimmte Taylorreihen zu bestimmen.

Das Verfahren an sich ist ziemlich simpel, aber auch rechenaufwändig und damit fehleranfällig.

Unser Ziel ist es, eine gebrochen rationale Funktion, bei der der Nenner ein größeres Polynom enthält als der Zähler, in eine Summe von mehreren Brüchen zu überführen.

Wir nehmen ein leichtes Beispiel:

Unser Vorgehen sieht so aus:

Zuerst faktorisieren wir den Nenner:

Dafür müssen wir normalerweise die erste Nullstelle raten und danach eine Polynomdivision durchführen. Bei Polynomen zweiten und dritten Grades geht das noch ganz gut, danach wirds deutlich komplizierter. Wir können aber davon ausgehen, dass bei unseren Aufgaben immer zumindest eine Nullstelle leicht zu finden ist.

Angewendet auf unser Beispiel bedeutet das also:

Dann stellen wir eine Gleichung auf:

Wir setzen nun unseren Bruch mit dem bereits zerlegten Ergebnis gleich, wobei wir allerdings einige Unbekannte einfügen müssen.

Die Nenner sind hier jeweils die einzelnen Fakoren von vorher, über die Bruchstriche haben wir das geschrieben, was wir herausfinden wollen!

Diese Gleichung können wir nun mit dem Nenner des linken Terms multiplizieren:

Wenn wir das rechts jetzt ausmultiplizieren und nach den x-en sortieren, erhalten wir:

Ein Vergleich der Ausdrücke rechts und links zeigt, dass wir das leicht in ein Lineares Gleichungssystem überführen können:

Dieses System lässt sich leicht lösen und wir können diese Lösung auch direkt in unseren Term von oben einsetzen:

Und fertig sind wir!

 

Wenn im Nenner ein Polynom mit höherem Grad steht ist das Vorgehen prinzipiell genau gleich, nur müssen wir natürlich entsprechend mehr Summanden hinzufügen.

 

Einen Sonderfall gibt es noch. Wenn nämlich am Anfang im Nenner eine Nullstelle mehrfach vorkommt. Das sieht dann also zum Beispiel so aus:

Hier müssen wir einfach beim Gleichsetzen das ganze so anpassen:

Wir haben also die doppelte Nullstelle auch doppelt drin, indem wir die einzelnen Potenzen gewählt haben. Bei einer dreifachen Nullstelle müssen wir natürlich entsprechend vorgehen und alle drei Potenzen beachten.

Den Rest für diese Aufgabe solltest Du jetzt alleine können, aber hier ist zum Überprüfen schon mal die Lösung:

 

Und jetzt gehts hier zu den Aufgaben zur Partialbruchzerlegung!