Partialbruchzerlegung - Lösungen

Hier gibt es die Lösungen zu den Aufgaben zur Partialbruchzerlegung!

1)

Als erstes müssen wir den Nenner faktorisieren. Dafür raten wir die erste Nullstelle, gehen also 1, -1, 2, -2 etc durch, bis wir eine Zahl gefunden haben, für die der Term 0 ergibt. In diesem Fall ist das die 2:

Nachdem wir also die erste Nullstelle gefunden haben suchen wir jetzt die nächsten mithilfe der Polynomdivision:

Und wenn man die Nullstellen von diesem Term nicht sofort sieht kann man wieder eine Nullstelle raten und wieder Polynomdivision anwenden.

Als Tipp an dieser Stelle, um sich die mühsame Arbeit mit dem Raten zu sparen: Die Zahl am Ende des Terms muss natürlich das Produkt der dritten und vierten Werte sein, also kommen in diesem Fall nur die Paare 1, -6 oder 2, -3 (bzw diese mal -1) in Frage!

Unser Nenner sieht jetzt also so aus:

Jetzt müssen wir unsere Gleichung mit den Variablen setzen:

Das Ganze dann multipliziert mit dem Nenner der linken Seite:

Das müssen wir jetzt noch ausmultiplizieren und nach den Potenzen sortieren:

 

Daraus können wir unser Lineares Gleichungssystem formen, indem wir einfach die Vorfaktoren der verschiedenen Potenzen vergleichen.

Und als Lösung erhalten wir:

Also lautet unser Ergebnis für die Aufgabe:

Und das wars!

 

 

 

2)

Wir gehen genauso vor wie in Aufgabe 1, wir suchen also als erstes die Nullstellen des Nenners und faktorisieren diesen dann mithilfe von Polynomdivision. Das Verfahren sollte bekannt sein und wird hier nicht nochmal vorgerechnet. Es ergibt sich:

Damit stellen wir nun unsere Gleichung mit den Unbekannten auf, nach denen wir auflösen müssen. Wir müssen die Nullstelle -2 wieder doppelt unterbringen!

Es wird mit dem Nenner des linken Terms multipliziert und danach nach den Potenzen geordnet.

Daraus können wir jetzt unser Lineares Gleichungssystem formen:

und das löst man am besten mit dem Gauß'chen Verfahren (oder tippt es in ein entsprechendes Programm ein), sodass man die Lösung

erhält. Eingesetzt in unsere vorige Gleichung erhält man die Lösung zur Aufgabe:

Wie bereits erwähnt ist dieses Verfahren allgemein ziemlich rechenaufwändig, ist häufig aber die einzige Möglichkeit, solch einen Bruch zu integrieren.