Potenzreihen

Hier beschäftigen wir uns mit Potenzreihen sowie mit der Bestimmung des Konvergenzradius von Potenzreihen.

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Eine allgemeine Potenzreihe hat immer die Form:

wobei a eine beliebige Folge im reellen oder im komplexen ist. xo wird als der sogenannte Entwicklungspunkt bezeichnet und ist fest gegeben.

In der Regel interessieren wir uns dafür, für welche x diese Funktion konvergiert, das bedeutet hier also auch, wo sie überhaupt richtig definiert ist.

Es gilt: f(x) konvergiert entweder nur in x0 oder auf einem bestimmten Intervall (im Falle einer reellen Folge) bzw einem Kreis (im Falle einer komplexen Folgen) um x0 herum oder sie konvergiert auf allen reellen bzw komplexen Zahlen.

Die betragsmäßig größte Zahl, für die gilt, dass alle betragsmäßig kleineren Zahlen konvergieren wird als der Konvergenzradius R bezeichnet:

Wichtig ist hier, dass die Potenzreihe für R selber nicht unbedingt konvergieren muss, sondern nur für alle  Zahlen, die betragsmäßig kleiner sind als R! Die Menge, auf der f(x) konvergiert kann also offen sein (muss es aber nicht).

Für die Berechnung des Konvergenzradius einer Potenzreihe gelten grundsätzlich natürlich die gleichen Regeln, wie für alle anderen Reihen auch.

Am einfachsten lässt sich R jedoch mit folgenden Formeln berechnen:

Das ist die Formel von Euler und ist meist relativ einfach anwendbar, führt aber leider nicht immer zum Ziel, während die Formel von Cauchy-Hadamard immer funktioniert:

wobei  der lim sup nichts anderes ist als der größte Häufungspunkt der Folge - im Falle einer konvergenten Folge also gleich dem lim.

Als Beispiel berechnen wir den Konvergenzradius der Exponentialfolge:

Entwicklungspunkt in diesem Fall - und in vielen anderen Fällen ebenfalls - ist einfach 0. Wir betrachten also nur die Folge:

Mit der ersten Formel sind wir schnell fertig:

Die Exponentialfunktion ist also auf allen reellen Zahlen definiert (was wir auch schon vorher wussten...)

 

Eine praktische Anwendung der Potenzreihen ist, dass sie innerhalb des Konvergenzradius komponentenweise integriert werden dürfen, was normalerweise nur für endliche Summen gilt. So kann man beispielsweise auch durch Integration und Rückdifferentiation den Wert einer Reihe bestimmen!

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