Potenzreihen - Lösungen

Hier gibt es die Lösungen zu den Potenzreihen-Aufgaben.

1)

Der Entwicklungspunkt ist gleich 0 und wir wollen wissen, für welche x die Reihe konvergiert. Dafür müssen wir lediglich die Folge

betrachten. Wir benutzen direkt die Formel von Euler:

Für alle |x|<1 konvergiert die Reihe also auf jeden Fall, wir müssen jetzt nur noch die Randpunkte 1 und -1 betrachten, also die Fälle:

und

Da wir wissen, dass n² keine Nullfolge ist zeigt sich direkt, dass beide Reihen divergieren (siehe auch den Artikel über Konvergenz von Reihen). Der Definitionsbereich für f(x) ist also:

 

2)

Wir benutzen das Kriterium nach Euler:

Wir machen also nichts anderes, als die Folge einzusetzen, den Bruch zu kürzen und dann den Grenzwert zu berechnen.

Das Ergebnis hier bedeutet einfach, dass die Potenzreihe auf den gesamten reellen Zahlen konvergiert und die Funktion damit überall definiert ist.

 

 

3)

Die Folge hier lautet:

Aufgrund des n in der Potenz wenden wir einfach Cauchy-Hadamard an und vereinfachen den Bruch:

Den lim sup können wir hier genauso betrachten wie den normalen Limes. Wie in der Aufgabe zuvor ist hier die Lösung der Aufgabe also, dass der Konvergenzradius unendlich ist und damit die Funktion auf allen reellen Zahlen definiert ist!

 

 

4)

Hier bestimmen wir lediglich den Konvergenzradius und lassen die Randpunkte außen vor. Da wir in der Folge bereits ein n² in der Potenz haben liegt die Berechnung nach Cauchy-Hadamard nahe:

Und schon sind wir fertig!

 

 

5)

Wieder haben wir ein n in der Potenz, daher verwenden wir die Formel nach Cauchy-Hadamard:

Hier bekommen wir jetzt das erste mal ein Problem, denn der obere Teil der Folge divergiert mit den Häufungspunkten 4 und 6. Da wir aber direkt von Anfang an den lim sup anstatt des lim genommen haben stört uns das nicht weiter und wir nehmen - nach Definition des lim sup, also des größten Häufungspunktes - die 6:

Und das ist der Konvergenzradius.